炉石竞技场 我能混几场

某玩家沉迷炉石不能自拔，虽然实力只有贴吧水平。今天他提出了一个小问题：

“如果我的胜率是50%，那我能在竞技场里赢几场？”

竞技场的比赛规则很有意思：赢满12场或者输满3场即结束游戏。因此分别考虑这两种情况，设赢得比赛的概率为 Q

赢满12场的大神

0负12胜的王者玩家

这种情况是最简单的，每场都赢，连赢12把

$$ P_0 = Q^{12} $$

1负12胜的钻石玩家

共计13场比赛，其中最后一把为胜，前12场中不小心输了一把，共有12种输法

$$ P_1 = C_{12}^1 \times Q^{12} \times (1-Q) $$

2负12胜的白金玩家

共计14场比赛，其中最后一把为胜，前13场中意外输了两场

$$ P_2 = Q^{12} \times (1-Q)^2 \times C^2_{13} $$

输满3场的倔强青铜玩家

这些玩家有个共同特点，那就是最后一把输掉了饮恨离场，在此之前可能赢了\([0,11]\)把，但已经输了2把。设赢了 \(n\) 场，那么总共比赛 \(n+3\)，前 \(n+2\)场中赢了\(n\)场，有\(C^n_{n+2}\)种可能。

$$ P_n = Q^n \times (1-Q)^3 \times C^n_{n+2} $$

综合以上所有情况，一个获胜概率为$Q$的玩家，在竞技场里的获胜数期望为

$$ E = 12 \times \sum_{i=0}^{2}P_i + \sum_{n=0}^{11}n\times P_n $$

当一个玩家是平均水平，即取\(Q = 0.5\)，带入可得，\(E \approx 2.99\) 这大概就是为啥3场比赛获胜的奖励和你的入场成本持平的原因吧。